Příklady z analytické geometrie:

• Určete vzdálenost a odchylku dvou přímek v $\R^3$.
• V $\R^3$ určete objem čtyřstěnu zadaného vrcholy.
• Rozhodněte, zda se dva čtyřstěny v $\R^3$ protínají.
• Dejte předpis pro zobrazení z $\R^3$ do sebe, které je symetrií podle dané přímky (otočení kolem dané přímky o úhel $\alpha$).

• slides (příklady)

Čísla

• $\mathbb{N} = \lbrace 0,1,2,3,…\rbrace$, operace: $+$,$\cdot$
• $\mathbb{Z} = \lbrace …, -2, -1,0,1,2, … \rbrace$, operace: $+$,$\cdot$, $-$
• $\mathbb{Q} = \lbrace \frac{p}{q}, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} - \lbrace 0 \rbrace \rbrace$, operace: operace: $+$,$\cdot$, $-$, $\div$ (částečně)
• $\mathbb{R}$ - reálná čísla (obsah kruhu, uhlopříčka čtverce), ,,operace“ navíc: odmocňování kladných
• $\mathbb{C}$ - ,,operace“ navíc: odmocňování

Komplexní čísla

• Rovnice $x^2 + 1 = 0$ nemá reálné řešení, hodilo by se nám aby nějaké “imaginární” řešení existovalo, označíme jej $i$.
• Přidejme toto $i$ (které má vlastnost $i^2 = -1$) k reálným číslům.
• $a + bi$ pro $a,b \in \mathbb{R}$
• $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• $(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bi \cdot c + bi \cdot di = (ac - bd) + (ad + bc)i$

• $\mathbb{C} = \lbrace a + ib, a,b \in \mathbb{R} \rbrace$
• Absolutní hodnota (vzdálenost od počátku): $|z|^2 = z\bar{z} = (a + ib)(a - ib)$
• Goniometrický tvar: $z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi)$
• Moivreova věta: $z^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$.
• Komplexní čísla jsou “dokonalá” (algebraicky uzavřená):
  • Libovolný nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má komplexní kořen.
  • Příklad: $(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1) = x^5 - 1$, a proto $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ nemá reálné řešení.