• hry = konfliktní situace
• hráči měli možnost vybrat danou strategii $s_i; i \in Q$
• užitek hráče byl výsledek zvolených
• množina všech strategických profilů $S = \Pi_{i \in Q} s_i$
• Best-response $BR_i(s_{-i}) = arg(max_{s_i \in S} [u_i(s_i, s_{-i})])$ = hledání maxima , kde $s_{-i}$ je eventuální response proti hráčů
  • množina vždy neprázdná (lze-li strategie seřadit uspořádat)
  • $BR_i : S \to 2^{S_i}$, viz korespondence přednáška 4
• Nashovo Equilibrium = stabilní profil, kde hráči dosahují takových výsledků, že je není nic z toho profilu “odejít”
  • Ryzí equilibrium je profil, pro který platí $s^* \in S ~ : \forall ~ i ~ \in ~ Q, \forall s_i \in S_i: u_i(s_{i}^, s^{-i}) \geq u_i(s_i, s^*{-i})$
  • $s^_i \in S : \forall i \in Q : s^i \in BR_i(s^*{i})$
  • Ryzí equilibrium ve hře nemusí být
  • Je z vrchu omezen počtem profilů
• Smíšené Nashovo equilibrium
  • strategie jsou voleny s nějakou pravděpodobností - vnáší náhodu
  • nelze garantovat výsledek - ale lze spočítat očekávaný užitek
  • nekonečná mnnožina smíšených strategií $\Delta_i = {p_1, p_2 | p_1, p_2 ~ \in ~ \langle 0, 1 \rangle \land p_1 + p_2 = 1}$
  • lze zanedbat $p_2$, můžeme napsat jako $p_2 = 1 - p_1$
  • $\Delta = \Pi_{i \in Q} \Delta_i$
• Není degenerovaná hra = Lichý počet equlibrií → Ryzí + smíšené
  • Degenerovaná hra = best-response o nějaké šířce přiřazuje nenulovou pravděpodobnost ryzím strategiím
  • br na 1prvkovou ??
• Racionální hráč = hraje strategie, které mu přinesou garantovaně nejvyšší výnos
• hry sekvenční = opakují se, střídají se v tazích
  • Hra v rozšířené formě = $(Q, H, {U_i}_i)$, $U_i : H^T \to R$
  • vidíme, co táhl?
  • equilibra = analýza zespoda nahoru - zpětná indukce
    • Subgame nash perfect equilibrium = vždy existuje a za určité podmínky může být ryzí!
  • Opakované hry = protihráči mají tah zároveň
  • Vězňovo dilema - velmi důležité
    • lepší profil není equlibriem
  • Folk theorem
    • nekonečné trestání při vybočení z domluvené strategie
    • ostatní hráči po zbytek časů (nekonečně dlouho) trestají toho, který odbočil
    • Vztah hráče k budoucnosti - discounting coefficient
• Kooperativní hry
  • hráči si uvědomují, že dohoda může, ale nemusí vyjít
  • technicky možné
  • Bod, když se nedohodnou bude takový → množina bodů dohody jsou lepší než bod, když se nedohodnou
  • 1. musí být nezávislé na lin. transformací
  • 2. Pareto efektivní - nesmí existovat bod,
  • 3. symetrie → stejné výchozí podmínky, by měli zajistit stejné užitky
  • 4. Nezávislost na irelevantních alternativách
  • → Nashovo vyjednávací řešení $g = (u_1(x) - c_1) \cdot (u_2(x) - c_2)$
• Užitek subjektivní, zisk neutrální
  • neutrální pohled na zisk, vyhledává risk, bojí se riskovat
• Přenositelný užitek = $v : 2^Q \to R$
  • rozpad množiny hráčů na koalice
  • jak si hráči rozdělí výnos koalice
  • není zakázáno rozdělení zisku
  • je na hráčích, jak si zisk rozdělí
  • rozdělení shora omezeno, pouze tím, co jim hra vynese
  • zdola omezeno výnosem, když je hráč sám
  • imputace - splňují kolektivní a individuální racionalitu
  • jádro hry = redukce systému imputací, které jsou racionální i z pohledu koalicí
  • Hráč může spočítat svoji hodnotu/přínos koalice se mnou - koalice beze mě
  • Aritmetický průměr všech přínosů - ?Schepliho hodnota? - kolik bude chtít výnos z koalice
  • Vektor schepliho hodnot = je imputací a je snadno vyčíslitelný
• Mechanismy
  • chtěli jsme, aby byly odolné vůči manipulaci
  • chceme aby nám to pravdivě sdělil
  • manipulace = zvýšení užitku, jinak než by měl moct
• Mechanismy bez peněz
  • Teorie volby - preference
    • tranzitivní volby
    • konorsetův paradox - můžeme mít volební mechanismum, který není tranzitivní
    • máme 3 a více kandidátů a 4 kriteria → nějaké kritérium bude poškozeno
      1. Všichni něco chtějí, tak se to musí zvolit
      2. Nezávislost
      3. Není diktátor
      4. Tranzitivita
    • Obecně nelze zařídit, že jsou nemanipulované
• Mechanismy s penězi - některé mechanismy za účast musí platit
  • Chceme zjistit, za kolik si to hráči cení
  • Každý hráč si to cení na svou individuální tajnou hodnotu $x_i$
  • aukce veřejné = vzestupné (anglická), sestupné (holandské)
  • aukce tajné = second-price, first-price
  • nevsadím víc, než si toho cením
  • $u_i = x_i - b_i$, chce maximalizovat, užitek = kolik si toho cení $-$ kolik zaplatil
  • jejich ocenění se můžeme dozvědět, ale nesmíme to použít proti nim
  • aukce s druhou cenou = je nemanipulovatelná
  • Revenue equivalence principle
    • jsou všichni neutrální k riziku
    • a nevíme, jak si to cení
    • všechny standardní aukce vedou ke stejnému očekávanému výnosu
  • obávající se rizika
    • s první cenou je lepší pro prodávajícího
• Evoluční hry
  • Evolučně stabilní - imunní vůči mutantům
  • $u(i, i) > u(j, i)$ a $u(i, j) > u(j, j)$
• 3 analytické modely
  • ??Bertran, kontron, stackberg??