$$
a_n \frac{d^ny}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n_1}y}{dt^{n-1}} + \dots + a_0 y
= b_m \frac{d^m z}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} z}{dt^{m-1}} + \dots + b_0z
$$
- $y$ = hledané řešení
- $n$ řád diferenciální rovnice
- $m$ řád vynucující funkce (řád pravé strany)
- $a_i, b_j$ = koeficienty, $i = 0, \dots, n$; $j = 0, \dots, m$
- převod do operátorového tvaru, zavádí se nový operátor (symbol) $p \equiv \frac{d}{dt}$
- $y’ = \frac{dy}{dt} = p \cdot y$, $y’’ = \frac{d^2 y}{dt^2}$, $\dots$
- $\int y ,dt = \frac{1}{p} y$
- $y’‘’ + a_2 y’’ + a_1 y’ + a_0 y = b_0 z$, počáteční podmínky $IC \equiv \emptyset$
Nejsou derivace vynucující funkce na pravé straně!
- Operátorový tvar: $p^3 + a_2 p^2 y + a_1 p y + a_0 y = b_0 z$
- Osamostatnění nejvyšší derivace: ($p^3 y$)
- $p^3 y = - (a_2 p^2 y + a_1 p y + a_0 y - b_0 z)$
- Postupně získání dalších rovnic:
- $p^2 = \frac{1}{p} \cdot p^3 y$
- $py = \frac{1}{p} \cdot p^2 y$
- $y = \frac{1}{p} \cdot p y$
- Jsou derivace pravé strany (vynucující funkce)
- Převedeme rovnici $n$-tého řádu na $n$ rovnic $1$. řádu
- Otázka stability výpočtu
- Lichý počet (invertujících) aktivních prvků ve smyčce - záporná zpětná vazba
- Hurwitzovo kritérium stability
- $y^{iv} + a_3 y’‘’ + a_2 y’’ + a_1 y’ + a_0 y = b_4 z^{iv} + b_3 z’‘’ + b_2 z’’ + b_1 z’ + b_0 z$
- Operátorový tvar: $p^4 y + a_3 p^3 y + a_2 p^2 y + a_1 p y + a_0 y = b_4 p^4 z + b_3 p^3 z + b_2 p^2 z + b_1 p^1 z + b_0 z$
- Osamostatnění funkcí: $y (p^4 + a_3 p^3 + a_2 p^2 + a_1 p + a_0) = z (b_4 p^4 + b_3 p^3 + b_2 p^2 + b_1 p^1 + b_0)$
- $\displaystyle y = \frac{z (b_4 p^4 + b_3 p^3 + b_2 p^2 + b_1 p^1 + b_0)}{p^4 + a_3 p^3 + a_2 p^2 + a_1 p + a_0}$
- Zavedení pomocné proměnné: $\displaystyle v = \frac{z}{p^4 + a_3 p^3 + a_2 p^2 + a_1 p + a_0}$
- Výsledná rovnice: $y = b_4 p^4 v + b_3 p^3 v + b_2 p^2 v + b_1 p^1 v + b_0 v$
- $p^4 + a_3 p^3 v + a_2 p^2 v + a_1 p v + a_0 = z$ - již zde nejsou derivace vynucující funkce ↠ MSŘD
- $p^4 v = - (a_3 p^3 v + a_2 p^2 v + a_1 p v + a_0 v - z)$
- $p^3 v = \frac{1}{p} \cdot p^4 v$
- $p^2 v = \frac{1}{p} \cdot p^3 v$
- $p v = \frac{1}{p} \cdot p^2 v$
- $v = \frac{1}{p} \cdot pv$
- $a_i, b_k > 0$
- $a_i$ splňují Hurwitzovo kritérium stability
-
Hurwitzův determinant $n$-tého řádu:
$$
H =
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1 & 0 & 0 \\
a_4 & a_2 & a_0 & 0 \\
0 & a_3 & a_1 & 0 \\
0 & a_4 & a_2 & a_0
\end{vmatrix}
$$
-
Všechny subdeterminanty $> 0$
-
$H_1 = a_3 > 0$
-
$H_2 = \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ a_4 & a_2 \end{vmatrix} = a_3 a_2 - a_4 a_1 > 0$
-
$
H_3 =
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1 & 0 \\
a_4 & a_2 & a_0 \\
0 & a_3 & a_1
\end{vmatrix}
= a_3 a_2 a_1 - a_3^2 a_0 - a_1^2 a_4 > 0$
$
-
$H_4 = a_0 H_3 > 0$
- vynucující funkce $z$ - převod na diferenciální rovnici
- $z = e^t$
- $z’ = e^t$
- $z’ = z$, počáteční podmínky ! **$z(0) = e^0 = 1$
- Operátorový tvar: $pz = z$
- Výsledná rovnice $z = \frac{1}{p} z$
- Výsledné zapojení s invertujícími prvky má sudý počet aktivních prvků ve zpětné vazbě → řešení je nestabilní!
- Na pravé straně derivace vynucující funkce
- $y^{iv} + a_3 y’‘’ + a_2 y’’ + a_1 y’ + a_0 y = b_4 z^{iv} + b_3 z’‘’ + b_2 z’’ + b_1 z’ + b_0 z$
- Operátorový tvar: $p^4 y + a_3 p^3 y + a_2 p^2 y + a_1 p y + a_0 y = b_4 p^4 z + b_3 p^3 z + b_2 p^2 z + b_1 p^1 z + b_0 z$
- $IC = \emptyset$ - pro každou derivaci (tedy 4)
- Osamostatnění nejvyšší derivace hledaného řešení
- $p^4 y = b_4 p^4 z + p^3 (b_3 z - a_3 y) + p^2 (b_2 z - a_2 y) + p (b_1 z - a_1 y) + (b_0 z - a_0 y)$
- Vynásobení $\frac{1}{p}$
- $p^3 y = b_4 p^3 z + p^2 (b_3 z - a_3 y) + p (b_2 z - a_2 y) + (b_1 z - a_1 y) + \frac{1}{p} (b_0 z - a_0 y)$
- Zavedení nové proměnné
- $V1 = \frac{1}{p} (b_0 z - a_0 y)$
- $p^3 y = b_4 p^3 z + p^2 (b_3 z - a_3 y) + p (b_2 z - a_2 y) + (b_1 z - a_1 y) + V1$
- Opakování 2. a 3. kroku, dokud nedostaneme výsledné řešení
- $p^2 y =b_4 p^2 z + p (b_3 z - a_3 y) + (b_2 z - a_2 y) + \frac{1}{p} (b_1 z - a_1 y + V1)$
- $V2 = \frac{1}{p} (b_1 z - a_1 y + V1)$
- $p y = b_4 p z + (b_3 z - a_3 y) + \frac{1}{p} (b_2 z - a_2 y + V2)$
- $V3 = \frac{1}{p} (b_2 z - a_2 y + V2)$
- $y = b_4 z + \frac{1}{p} (b_3 z - a_3 y + V3)$
- $n > m$ = řád levé strany je větší jak řád pravé strany (opět derivace vynucující funkce
- můžeme “vyrobit” nejen $y$, ale i $y’$, $y’’$, $\dots$, až do řádu $n - m$
- $y’‘’’ + a_3 y’‘’ + a_2 y’’ + a_1 y’ + a_0 y = b_2 z’’ + b_1 z’ + b_0 z$
- Operátorový tvar: $p^4 y + a_3 p^3 y + a_2 p^2 y + a_1 p y + a_0 y = b_2 p^2 z + b_1 p z + b_0 z$
- MPI:
- $p^4 y = - a_3 p^3 y + p^2 (b_2 z - a_2 y) + p (b_1 z - a_1 y) + (b_0 z - a_0 y)$
- $p^3 y = - a_3 p^2 y + p (b_2 z - a_2 y) + (b_1 z - a_1 y) + \frac{1}{p} (b_0 z - a_0 y)$
- $V1 = \frac{1}{p} (b_0 z - a_0 y)$
- $p^2 y = - a_3 p y + (b_2 z - a_2 y) + \frac{1}{p} (b_1 z - a_1 y + V1)$
- $V2 = \frac{1}{p} (b_1 z - a_1 y + V1)$
- $p^2 y = - a_3 p y + (b_2 z - a_2 y) + V2$
- Už zde není derivace vynucující funkce
- Dále podle MSŘD
- $p y = \frac{1}{p} p^2 y$
- $y = \frac{1}{p} p y$
- Výsledné řešení: Invertující prvky
- 1) SUM
$-p^2= - (- a_3 p y + b_2 z - a_2 y + V2)$
- 2) INT
$py = - {1 \over p} (- p^2 y)$
- 3) INT
$- y = - {1 \over p} p y$
- 4) INT
$- V1 = - {1 \over p} ( b_0 z - a_0 y )$
- 5) INT
$- {1 \over p} (- b_1 z + a_1 y - V1)$
$$
f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n {(x - x_0)^i \over i!} f^{(i)}(x_0)
$$
$$
y^{‘’} + ay^{‘} + by = 0, \quad y(0) = 0, y^{’}(0) = 0
$$
- zavedení substituce:
$$z = y^{‘}, z^{’} = y^{‘’}$$
- převod na soustavu ODE
$$
z^{‘} + az + by = 0, \quad z(0) = 0
\
z - y^{’} = 0, \quad y(0) = …
$$
$$
\begin{align*}
y(x_0 + h) &= y(x_0) + \sum_{i=1}^n {(x - x_0)^i \over i!} y^{(i)}(x_0)
\
z(x_0 + h) &= z(x_0) + \sum_{i=1}^n {(x - x_0)^i \over i!} z^{(i)}(x_0)
\end{align*}
\
\Downarrow
\
\begin{align*}
y^{‘} &= z & z^{’} &= az - by
\
y^{‘’} &= z^{‘} & z^{’‘} &= -az^{’} - by^{’}
\
& \vdots && \vdots
\
y^{(i)} &= z^{(i-1)} & z^{(i)} &= - az^{(i-1)} - by^{(i-1)}
\end{align*}
$$
- $h$ je integrační krok
- $ y_i = y(t_i)$ je předchozí hodnota
- a $y_{i+1} = y(t_i + h)$ je následující hodnota funkce $y(t)$
$$
y’ = y, y(0) = y = 1 \implies y’’ = y’ = y
\
\vdots
\
y_1 = y_0 + h y’(0) + {h^2 \over 2!} y’‘(0) + \dots + {h^n \over n!} y^{(n)}(0)
\
y_1 = y_0 + DY1_0 + DY2_0 + \dots
\
DY1_0 = h \cdot y’(0) = h y(0) = h y_0
\
DY2_0 = {h^2 \over 2!} y’’(0)
$$
$$
y_1 = y_0 + h y’(1) + {h^2 \over 2!} y’’(1) + \dots + {h^n \over n!} y^{(n)}(1)
$$